مبانی علم حساب: پژوهشی منطقی - ریاضیاتی درباره مفهوم عدد

معرفی کتاب

این کتاب یکی از آثار مهم و تأثیرگذار در تاریخ فلسفه غرب است که مورد توجه جریانات مختلف فلسفی در قرن بیستم به ویژه فلسفة تحلیلی قرار گرفته است.
مبانی علم حساب تحقیقی منطقی ـ ریاضیاتی درباره مفهوم عدد است.

فریدریش لودویگ گوتلوب فرگه، نویسنده این کتاب، ریاضی دان، منطق دان و فیسوف برجستهٔ آلمانی در اواخر سدهٔ نوزدهم و اوایل قرن بیستم میلادی است و در این کتاب به بررسی مبانی فلسفی علم حساب و بالاخص عدد می پردازد.

فرگه می گوید تکلیف این کتاب این است که یا عدد را تعریف کند یا تعریف ناپذیری آن را آشکار سازد.
وی پس از عنوان کردن این پرسش که «عدد یک چیست؟»، به بررسی و نقد عقاید دیگر ریاضیدانان و فلاسفه درباره چیستیِ عدد پرداخته است و دیدگاه خود را بیان می کند.
مایکل دومت، از شارحان برجسته فرگه، این کتاب را قوی ترین و سرشارترین اثر فلسفیِ فرگه می داند.
مبانی علم حساب نظر برتراند راسل را به خود جلب کرد.

کتاب در پنج فصل با عنوان های «دیدگاه های چند نویسنده درباره ماهیت گزاره های حسابی»، «دیدگاه های چند نویسنده درباره مفهوم عدد»، «دیدگاه هایی درباره یکان و یک»، «مفهوم عدد» و «نتیجه گیری» تدوین شده است.

مترجم در معرفی «مبانی علم حساب» در مقدمه کتاب آورده است: «کتاب مبانی علم حساب در سال 1884 منتشر شده و «فِرگه» در آن به بررسی مبانی فلسفی علم حساب و بالاخص عدد می پردازد. برخلاف کتاب «مفهوم نگاشت» در این جا خبری از زبان صوری نیست. چنان که خود تعریف ناپذیری آن را آشکار سازد. او پس از عنوان کردن این پرسش که «عدد یک چیست؟» به بررسی و نقد عقاید دیگر ریاضی دانان و فلاسفه درباره چیستیِ عدد پرداخته است و دیدگاه خود را بیان می کند.»

مترجم در ادامه تشریح دیدگاه های این نویسنده به پرسش اساسی این اندیشمند «آیا بیان علم حساب ژرف تر از همه علوم تجربی، وحتی ژرف تر از هندسه نیست؟» می پردازد. مترجم با اشاره به لقب «پدر فلسفه تحلیلی» فِرگه به ترجمه های اندک کتاب های این اندیشمند به زبان فارسی تأکید دارد. کتاب «مبانی علم حساب» براساس متن آلمانی آن همچنین ترجمه انگلیسی تحسین برانگیز جی. ال. آستین انجام گرفته است.

نویسنده در مقدمه کتاب با طرح چند پرسش و اظهار ناامیدی از توانایی ریاضی دان ها برای پاسخگویی به عدد یک چیست؟ معتقد است که «اگر مفهومی که در بنیاد یک علم ستُرگ قرار دارد با چنین مسائلی رو به رو شود، پس تکلیفی ضروری است که با دقت بیشتر آن را بکاویم و بر آن مسائل فائق آئیم؛ به ویژه از این نظر که تا زمانی که بینش ما در خصوص بنیاد تمام ساختار علم حساب ناقص باشد، پیشرفتی در توضیح اعداد منفی، کسری و مختلط نخواهیم داشت.»

در نخستین فصل کتاب «ماهیت گزاره های حسابی» براساس دیدگاه های کانت، هانکل، لایب نیتس، اچ گراسمال، اچ هانکل، جان استوارت میل بررسی شده است.

کانت درباره اثبات پذیری فرمول های عددی اثبات پذیر معتقد است: «آن ها اثبات ناپذیرند و تالیفی می داند، اما برای اصول موضوعه خواندن آن ها درنگ می کند، زیرا کلی نیستند و شعارشان از حقایق نخستینیِ اثبات ناپذیر را پارادوکسیکال و نامعقول می داند. این در واقع با نیاز عقل به وضوحِ مبانی اولیه در تناقش است.»

در دومین فصل کتاب نیز نویسنده به بررسی دیدگاه های چند نویسنده از جمله لایب نیتس، اچ گراسمال و جان استوارت میل همچنین نیوتن درباره ممفهوم عدد پرداخته است.

به اعتقاد نیوتن «بیش از آن که عدد را مجموعه ای از یکان ها (یا واحد ها) بداند، آن را همچون ارتباطی انتزاعی میان هر کمیت و کیفیتی از همان نوع می فهمند که در مقام یکان (یا واحد) در نظر گرفته می شود، شاید پذیرفتنی باشد که در این جا شرحی مناسب از عدد به معنای گسترده اش ارائه شده است که شامل کسر ها و اعداد گنگ هم می شود؛ اما این شرح، مفاهیم کمیت و روابط کمی را از پیش فرض می گیرد.»

سومین فصل کتاب با پرسش آیا عدد واژه «یک» صفتی از برابرایستا ها را بیان می کند؟ آغاز می شود. نویسنده براساس تعاریف کتاب «هفتم عناصر» اقلیدس آورده است؛ «به نظر می رسد مقصود او از کلمه v0µ گاهی برابر ایستای شمارش است، گاهی صفتی از آن برابرایستا و گاهی عدد یک، Einheit بهترین ترجمه برای این کلمه، به نظر می رسد، اما فقط به این دلیل که خود این کلمه دلالت های مختلفی دارد.»

«هرعدد مفرد ، یک برابر ایستای خود ایستاست» موضوع اصلی چهارمین فصل کتاب است. نویسنده معتقد است که اگر نمی توانیم هیچ تصور یا شهودی از عدد داشته باشیم، پس حصول آن برای ما به چه نحوی باید باشد؟ فقط دریافت و متن یک گزاره است که واژه ها بر چیزی دلالت می کنند»

در پنجمین فصل کتاب نویسنده آورده است: «امید وارم در اثر حاضر، در طرح این احتمال که قوانین علم حساب احکامی تحلیلی و در نتیجه پیشینی هستند، موفق بوده باشیم. از این رو علم حساب صرفا یک منطق گسترده تر و هر گزاره حسابی یک قانون منطقی - البته از نوع اشتقاقی - خواهد بود. کاربرد علم حساب در تفسیر طبیعت، اِعمال فرآیندی منطقی بر واقعیات مشهود خواهد بود؛ محاسبه کردن استنتاج کردن، استنتاج کردن خواهد بود.»